当t属于A\\athcal{A}的时候，生成的自同态叫做ner的，而当tt不属于A\\athcal{A}的时候，生成的自同态是outer的。
如果这个自同态结构是通过h^\\hat{h}形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的sirace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。
一个数学定理说的是：对于一个typeIII1III_{1}的factor，它和其外模自同态群（outerautoorhphis）形成的代数结构AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\athcal{A}_{R}=\\athcal{A}_{r,0}\\rtis\\athcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\betaN}是一个typeII∞\\athr{II}_{\\fty}的vonNeuann代数。它也是一个factor。
typeII的代数和typeIII的代数的一个重要不同在于，typeII代数具有求迹的结构，而typeIII代数没有。因此当代数转变为typeII的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。
考虑扩充的希尔伯特空间中的态Ψ^=Ψ?g1\/2(x)\\hat{\\psi}=\\psi\\otisg^{1\/2}(x),其中Ψ\\psi是关于代数Ar,0\\athcal{A}_{r,0}的一个cyclic-seperatg的态，因为g1\/2g^{1\/2}是恒正的，因此Ψ^\\hat{\\psi}也是一个cyclic-seperatg的态。
对于Ar,0\\athcal{A}_{r,0}有一个odur算符ΔΨ\\delta_{\\psi},满足如下的关系
?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?\\ngle\\psi|ab|\\psi\\rangle=\\ngle\\psi|b\\delta_{\\psi}a|\\psi\\rangle
证明比较简单
?Ψ|bΔΨa|Ψ?=?Ψ|bSΨ?SΨa|Ψ?=?b?Ψ|SΨ?|SΨaΨ?=?a?Ψ|SΨ|b?Ψ?=?Ψ|ab|Ψ?\\ngle\\psi|b\\delta_{\\psi}a|\\psi\\rangle=\\ngle\\psi|bS^{\\dagger}_{\\psi}S_{\\psi}a|\\psi\\rangle=\\ngleb^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}^{\\dagger}|S_{\\psi}a\\psi\\rangle=\\nglea^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}|b^{\\dagger}\\psi\\rangle=\\ngle\\psi|ab|\\psi\\rangle
其中用到了odur算符的表达式ΔΨ=SΨ?SΨ\\delta_{\\psi}=S_{\\psi}^{\\dagger}S_{\\psi},以及SΨS_{\\psi}是一个反线性算符。
如果定义au=eih^Ψuae?ih^Ψua_{u}=e^{i\\hat{h}_{\\psi}u}ae^{-i\\hat{h}_{\\psi}u},那么也可以得到KS关系?Ψ|aub|Ψ?=?Ψ|bau+i|Ψ?\\ngle\\psi|a_{u}b|\\psi\\rangle=\\ngle\\psi|ba_{u+i}|\\psi\\rangle
而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的odur算符Δ^Ψ^\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}
?Ψ^|a^b^|Ψ^?=?Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^?\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle,此时a^,b^∈Ar,0?Ah^Ψ+x\\hat{a},\\hat{b}\\\\athcal{A_{r,0}}\\rtis\\athcal{A}_{\\hat{h}_{\\psi}+x},记x=βNUx=\\betaNU
因为此时a^=aeis(h^Ψ+x)\\hat{a}=ae^{is(\\hat{h}_{\\psi}+x)},容易验证扩充后的odur算符的表达式为
Δ^Ψ^=ΔΨg(h^Ψ+x)g(x)?1\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\delta_{\\psi}g(\\hat{h}_{\\psi}+x)g(x)^{-1}
这个公式意味着它可以拆分为两部分Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K
K=Δe?xg(h^Ψ+x),K~=exg(x)K=\\deltae^{-x}g(\\hat{h}_{\\psi}+x),\\quad\\tilde{K}=\\frac{e^{x}}{g(x)}
有了以上的准备工作，可以给出对于A?R\\athcal{A}\\rtisR上的算符a^\\hat{a}的trace
tra^=?Ψ^|a^K?1|Ψ^?tr\\hat{a}=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{a}K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle
可以验证它确实满足trace的定义
tra^b^=?Ψ^|a^b^K?1|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^?1|Ψ^?tr\\hat{a}\\hat{b}=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b}K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle
带入Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K,就可以知道
tr(a^b^)=?Ψ^|b^a^K?1|Ψ^?=tr(b^a^)tr(\\hat{a}\\hat{b})=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{a}K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rar(\\hat{b}\\hat{a})
这里用到了K~\\tilde{K}和a对易。
利用ΔΨΨ=Ψ,h^Ψ|Ψ?=0\\delta_{\\psi}\\psi=\\psi,\\quad\\hat{h}_{\\psi}|\\psi\\rangle=0,求迹操作的定义可以写为如下简单的形式
tr(a^)=?Ψ^|a^exg(x)|Ψ^?=∫?∞∞dxex?Ψ|a^|Ψ?tr(\\hat{a})=\\ngle\\hat{\\psi}|\\hat{a}\\frac{e^{x}}{g(x)}|\\hat{\\psi}\\ra_{-\\fty}^{\\fty}dxe^{x}\\ngle\\psi|\\hat{a}|\\psi\\rangle
有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于hilbert空间的态|Φ?∈h|\\phi\\rangle\\\\athcal{h},可以定义p∈A\\rho\\\\athcal{A}
?Φ|a|Φ?=tr(pa)\\ngle\\phi|a|\\phi\\rar(\\rhoa)
由以上定义可以看出，对于cyclicseperatg的态|Ψ^?|\\hat{\\psi}\\rangle,密度矩阵就是K.得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵
S(p)=?tr(plogp)S(\\rho)=-tr(\\rholog\\rho)