考虑其中除了有限个之外，其他的vkv_{k}都等于I2′I_{2}'.
此时因为这个截断，我们可以定义希尔伯特空间的内积?v,w?=trv(n)?w(n)\\nglev,\\oga\\rarv_{(n)}^{\\dagger}w_{(n)}.
注意到我们这里对于态空间做了一个限制，这个态空间的限制会导致作用在其上的算符也有一个限制。
对于相应的算符
a=a1?a2....?an?.....a=a_{1}\\otisa_{2}....\\otisa_{n}\\otis.....
也是必须要根据态空间的限制进行指定，即只有除了有限n个算符之外，其他aa都是恒等算符的时候，才是合理的算符空间。以上算符a（A0\\athcal{A}_{0})还不足以生成一个算符空间，因为它并不是闭（closed）的，要让其闭合，需要引入极限要求算符可以收敛，最后算符空间的定义为
a:h→h,ax=lin→∞a(n)xforx∈ha:\\athcal{h}\\to\\athcal{h},a\\chi=li_{n\\to\\fty}a_{(n)}\\chi\\quadfor\\quad\\chi\\\\athcal{h}.
当然我们也可以定义相应的a'空间，它们组成的互补代数A,A′\\athcal{A},\\athcal{A'}互相同构。定义关于A\\athcal{A}和A′\\athcal{A}'代数是cyclic和seperatg的态。
Ψ=I2′?I2′.....?I2′...∈h\\psi=I_{2}'\\otisI_{2}'.....\\otisI_{2}'...\\\\athcal{h}
一个自然的线性函数是
F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\ngle\\psi|a|\\psi\\rangle
可以看出这个函数给出了求迹的定义，来验证一下
首先因为|Ψ?|\\psi\\rangle是seperatg的，所以对于非零的a，a|Ψ?≠0a|\\psi\\rangleeq0,所以首先F(a?a)?0F(a^{\\dagger}a)\\geqsnt0
而对于两个算符a，b,
F(ab)=tr2[1]?....2[k]a1b1?a2b2...?akbk=F(ba)F(ab)=tr_{_{2}^{[1]}\\otis...._{2}^{[k]}}a_{1}b_{1}\\otisa_{2}b_{2}...\\otisa_{k}b_{k}=F(ba)
因此满足这个交换性，（我们注意到实际上定义完von-Neuann代数之后，cyclicseperatg态的结构在这个交换性上产生了重要作用）。因为以上性质，这个线性函数定义了求迹的运算，相应的von-Neuann代数被称为typeII的，而能否定义求迹运算，实际上构成了typeII和typeIII代数的最终区别。
typeIII的von-Neuann代数则是性质最差的，此时不仅无法定义子区域的希尔伯特空间，甚至求迹操作都没法良好定义。相比于前两个，它也是更为一般的von-Neuann代数。考虑一般的两体纠缠，此时不是最大纠缠，可以把描述两体纠缠的矩阵写作
K2,λ=1(1+λ)1\/2diag(1,λ1\/2)K_{2,\\bda}=\\frac{1}{(1+\\bda)^{1\/2}}\\athr{diag}(1,\\bda^{1\/2}),diag表示对角矩阵。
此时构造typeIII的方法就是把构造typeII时的所有I2′I_{2}'换为K2,λK_{2,\\bda}.
同时要求态除了有限个之外，其他的vnv_{n}都等于K2,λK_{2,\\bda}.根据态空间的结构，也可以类似的构造其上的算符，先定义A0\\athcal{A_{0}},然后再采取相同的步骤利用极限保证代数闭合，因此定义的代数是Aλ\\athcal{A}_{\\bda},因为定义代数闭合的时候需要利用希尔伯特空间，因此Aλ≠AA_{\\bda}eq\\athcal{A}，因此会得到和typeII不同的代数结构。对于相应的代数，此时的cyclicseperatg态为
Ψ=K2,λ?K2,λ.....?K2,λ....\\psi=K_{2,\\bda}\\otisK_{2,\\bda}.....\\otisK_{2,\\bda}....
可以很自然的去进行验证，此时F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\ngle\\psi|a|\\psi\\rangle定义给出的线性函数不满足F(ab)=F(ba)F(ab)=F(ba)，因此代数不再有一个合理的求迹的定义。
对于λ≠λ′\\bdaeq\\bda'时，通常Aλ,Aλ′\\athcal{A}_{\\bda},\\athcal{A}_{\\bda'}不是同构的。以上的构造也可以进行推广，即我们可以取不同的K2,λK_{2,\\bda}
此时就有一个数列的{λ1,λ2,...λn}\\{\\bda_{1},\\bda_{2},...\\bda_{n}\\},如果以上的数列收敛于一个特定的λ\\bda,那么得到的代数和之前说的一致，叫做typeIIIλtypeIII_{\\bda}.
而如果以上数列并不收敛，而是至少在两个值之间震荡的话，那么就可以得到typeIII1III_{1}代数。
以上我们就介绍完了三种冯诺依曼代数的构造，而通常的量子场论，它的代数都是typeIII的，实际上对于量子场论我们没办法像量子力学一样去讨论态的纠缠，因为此时希尔伯特空间不再具有直积的结构，因此不可以通过求迹得到子区域的密度矩阵。这也就是通常对于量子场论子区域纠缠熵发散的原因。
之前的研究通常都是取截断来正规化这个发散，但是这样就会将代数改变为typeI的，进而再进行讨论，这样会不可避免的失去一些本质的信息。而通过代数的研究可以发现，量子场论中universal的子区域纠缠熵发散，并不是态的性质，而是von-Neuann代数的结构导致的。此时如果讨论A,A′\\athcal{A},\\athcal{A}'的纠缠我们会发现因为typeIII代数的结构导致纠缠熵实际上没法良好定义，这是发散的本质。